Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x + 8) + \ln (x - 5) = 2 \ln (x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x + 8) (x - 5)) = 2 \ln (x)$

Этап 1.2

Развернем $(x + 8) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (x - 5) + 8 (x - 5)) = 2 \ln (x)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 5 + 8 (x - 5)) = 2 \ln (x)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 5 + 8 x + 8 \cdot - 5) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 5 + 8 x + 8 \cdot - 5) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\ln (x^{2} - 5 \cdot x + 8 x + 8 \cdot - 5) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3.1.3

Умножим $8$ на $- 5$ .

$\ln (x^{2} - 5 x + 8 x - 40) = 2 \ln (x)$

Этап 1.3.2

Добавим $- 5 x$ и $8 x$ .

$\ln (x^{2} + 3 x - 40) = 2 \ln (x)$

Этап 2

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (x^{2} + 3 x - 40) = \ln (x^{2})$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} + 3 x - 40 = x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 3 x - 40 - x^{2} = 0$

Этап 4.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 3 x - 40 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$3 x - 40 + 0 = 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $3 x - 40$ и $0$ .

$3 x - 40 = 0$

Этап 4.2

Добавим $40$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 40$

Этап 4.3

Разделим каждый член $3 x = 40$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $3 x = 40$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{40}{3}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{40}{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{40}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{40}{3}$

Десятичная форма:

$x = 13.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$x = 13 \frac{1}{3}$