Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x - 1) + \ln (x) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 1) x) = 0$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x - 1 x) = 0$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 x) = 0$

Этап 1.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\ln (x^{2} - x) = 0$

Этап 2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2} - x)} = e^{0}$

Этап 3

Перепишем $\ln (x^{2} - x) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x^{2} - x$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - x = e^{0}$ .

$x^{2} - x = e^{0}$

Этап 4.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{2} - x = 1$

Этап 4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 1 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\ln (x - 1) + \ln (x) = 0$ истинным.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 1.61803398 \dots$