Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x + 2) - \ln (x - 1) = 1$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 2}{x - 1}) = 1$

Этап 2

Перепишем $\ln (\frac{x + 2}{x - 1}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1} = \frac{x + 2}{x - 1}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x + 2 = e (x - 1)$

Этап 4

Упростим $e (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 2 = e x + e \cdot - 1$

Этап 4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $e$ .

$x + 2 = e x - 1 \cdot e$

Этап 4.2

Перепишем $- 1 e$ в виде $- e$ .

$x + 2 = e x - e$

Этап 5

Вычтем $e x$ из обеих частей уравнения.

$x + 2 - e x = - e$

Этап 6

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x - e x = - e - 2$

Этап 7

Вынесем множитель $x$ из $x - e x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e x = - e - 2$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x$ из $- e x$ .

$x \cdot 1 + x (- e) = - e - 2$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- e)$ .

$x (1 - e) = - e - 2$

Этап 8

Разделим каждый член $x (1 - e) = - e - 2$ на $1 - e$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $x (1 - e) = - e - 2$ на $1 - e$ .

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- e}{1 - e} + \frac{- 2}{1 - e}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $1 - e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- e}{1 - e} + \frac{- 2}{1 - e}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- e}{1 - e} + \frac{- 2}{1 - e}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- e - 2}{1 - e}$

Этап 8.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- e$ .

$x = \frac{- (e) - 2}{1 - e}$

Этап 8.3.3

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- (e) - 1 (2)}{1 - e}$

Этап 8.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e) - 1 (2)$ .

$x = \frac{- (e + 2)}{1 - e}$

Этап 8.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Перепишем $- (e + 2)$ в виде $- 1 (e + 2)$ .

$x = \frac{- 1 (e + 2)}{1 - e}$

Этап 8.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{e + 2}{1 - e}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{e + 2}{1 - e}$

Десятичная форма:

$x = 2.74593012 \dots$