Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x + 3) = \ln (8) - \ln (x - 4)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x + 3) = \ln (\frac{8}{x - 4})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x + 3 = \frac{8}{x - 4}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{8}{x - 4} - 3$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x - 4, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$1, x - 4, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x - 4$

Этап 3.3

Каждый член в $x = \frac{8}{x - 4} - 3$ умножим на $x - 4$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $x = \frac{8}{x - 4} - 3$ на $x - 4$ .

$x (x - 4) = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 4 = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

Этап 3.3.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

Этап 3.3.2.2.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 4 x = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

Этап 3.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 4 x = 8 - 3 (x - 4)$

Этап 3.3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 4 x = 8 - 3 x - 3 \cdot - 4$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 4$ .

$x^{2} - 4 x = 8 - 3 x + 12$

Этап 3.3.3.2

Добавим $8$ и $12$ .

$x^{2} - 4 x = - 3 x + 20$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 4 x + 3 x = 20$

Этап 3.4.1.2

Добавим $- 4 x$ и $3 x$ .

$x^{2} - x = 20$

Этап 3.4.2

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Этап 3.4.3

Разложим $x^{2} - x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $- 1$ .

$- 5, 4$

Этап 3.4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Этап 3.4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 3.4.5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3.4.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 3.4.6

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 3.4.6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 3.4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 5, - 4$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (x + 3) = \ln (8) - \ln (x - 4)$ истинным.

$x = 5$