Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x) = \ln (x + 6) - \ln (x - 4)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x) = \ln (\frac{x + 6}{x - 4})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x = \frac{x + 6}{x - 4}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x - 4$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$1, x - 4$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x - 4$

Этап 3.2

Каждый член в $x = \frac{x + 6}{x - 4}$ умножим на $x - 4$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $x = \frac{x + 6}{x - 4}$ на $x - 4$ .

$x (x - 4) = \frac{x + 6}{x - 4} (x - 4)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 4 = \frac{x + 6}{x - 4} (x - 4)$

Этап 3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 = \frac{x + 6}{x - 4} (x - 4)$

Этап 3.2.2.2.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{x + 6}{x - 4} (x - 4)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 4 x = \frac{x + 6}{x - 4} (x - 4)$

Этап 3.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 4 x = x + 6$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x - x = 6$

Этап 3.3.1.2

Вычтем $x$ из $- 4 x$ .

$x^{2} - 5 x = 6$

Этап 3.3.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Этап 3.3.3

Разложим $x^{2} - 5 x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 6, 1$

Этап 3.3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x + 1) = 0$

Этап 3.3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3.3.5

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.3.5.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.3.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.3.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 6, - 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (x) = \ln (x + 6) - \ln (x - 4)$ истинным.

$x = 6$