Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x) = \ln (\frac{3 x + 1}{x + 1})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x + 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$1, x + 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x + 1$

Этап 3.2

Каждый член в $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ умножим на $x + 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ на $x + 1$ .

$x (x + 1) = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.2.2.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + x = 3 x + 1$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 3 x = 1$

Этап 3.3.1.2

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$x^{2} - 2 x = 1$

Этап 3.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Этап 3.3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.5.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.5.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 3.3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$ истинным.

$x = 1 + \sqrt{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 1 + \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$x = 2.41421356 \dots$