Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x) = \ln (20) - \ln (x + 1)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x) = \ln (\frac{20}{x + 1})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x = \frac{20}{x + 1}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x + 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$1, x + 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x + 1$

Этап 3.2

Каждый член в $x = \frac{20}{x + 1}$ умножим на $x + 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $x = \frac{20}{x + 1}$ на $x + 1$ .

$x (x + 1) = \frac{20}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 1 = \frac{20}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = \frac{20}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.2.2.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} + x = \frac{20}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + x = \frac{20}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + x = 20$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 20 = 0$

Этап 3.3.2

Разложим $x^{2} + x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $1$ .

$- 4, 5$

Этап 3.3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Этап 3.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 3.3.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.3.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.3.5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 3.3.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 3.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 5) = 0$ верно.

$x = 4, - 5$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (x) = \ln (20) - \ln (x + 1)$ истинным.

$x = 4$