Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x + 1) + \ln (x - 1) = \ln (8)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x + 1) (x - 1)) = \ln (8)$

Этап 1.2

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (x - 1) + 1 (x - 1)) = \ln (8)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) = \ln (8)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Этап 1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\ln (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Этап 1.3.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (x^{2} - x + x - 1) = \ln (8)$

Этап 1.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\ln (x^{2} + 0 - 1) = \ln (8)$

Этап 1.3.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\ln (x^{2} - 1) = \ln (8)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} - 1 = 8$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 8 + 1$

Этап 3.1.2

Добавим $8$ и $1$ .

$x^{2} = 9$

Этап 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 3.3

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (x + 1) + \ln (x - 1) = \ln (8)$ истинным.

$x = 3$