Основы мат. анализа Примеры

$\ln (3 x - 4) = \ln (4) - \ln (x - 1)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (3 x - 4) = \ln (\frac{4}{x - 1})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$3 x - 4 = \frac{4}{x - 1}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = \frac{4}{x - 1} + 4$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x - 1, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$1, x - 1, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x - 1$

Этап 3.3

Каждый член в $3 x = \frac{4}{x - 1} + 4$ умножим на $x - 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $3 x = \frac{4}{x - 1} + 4$ на $x - 1$ .

$3 x (x - 1) = \frac{4}{x - 1} (x - 1) + 4 (x - 1)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 = \frac{4}{x - 1} (x - 1) + 4 (x - 1)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 = \frac{4}{x - 1} (x - 1) + 4 (x - 1)$

Этап 3.3.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 = \frac{4}{x - 1} (x - 1) + 4 (x - 1)$

Этап 3.3.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 x^{2} - 3 x = \frac{4}{x - 1} (x - 1) + 4 (x - 1)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} - 3 x = \frac{4}{x - 1} (x - 1) + 4 (x - 1)$

Этап 3.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} - 3 x = 4 + 4 (x - 1)$

Этап 3.3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 3 x = 4 + 4 x + 4 \cdot - 1$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x = 4 + 4 x - 4$

Этап 3.3.3.2

Объединим противоположные члены в $4 + 4 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$3 x^{2} - 3 x = 4 x + 0$

Этап 3.3.3.2.2

Добавим $4 x$ и $0$ .

$3 x^{2} - 3 x = 4 x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - 3 x - 4 x = 0$

Этап 3.4.1.2

Вычтем $4 x$ из $- 3 x$ .

$3 x^{2} - 7 x = 0$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} - 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 7 x = 0$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 7 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 7 = 0$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot - 7$ .

$x (3 x - 7) = 0$

Этап 3.4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 x - 7 = 0$

Этап 3.4.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4.5

Приравняем $3 x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Приравняем $3 x - 7$ к $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Этап 3.4.5.2

Решим $3 x - 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 7$

Этап 3.4.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = 7$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 7$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 3.4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 3.4.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Этап 3.4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (3 x - 7) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{7}{3}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (3 x - 4) = \ln (4) - \ln (x - 1)$ истинным.

$x = \frac{7}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{7}{3}$

Десятичная форма:

$x = 2.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$x = 2 \frac{1}{3}$