Основы мат. анализа Примеры

$\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 5) (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Развернем $(2 x + 5) (x - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (2 x (x - 7) + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Этап 1.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Этап 1.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Этап 1.2.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Умножим $- 7$ на $2$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Умножим $5$ на $- 7$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Этап 1.2.2.2

Добавим $- 14 x$ и $5 x$ .

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $- 2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - \ln (x^{2}) = 0$

Этап 2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Этап 2.1.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 x$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 (x) - 35}{x^{2}}) = 0$

Этап 2.1.3.1.2

Запишем $- 9$ как $5$ плюс $- 14$

$\ln (\frac{2 x^{2} + (5 - 14) x - 35}{x^{2}}) = 0$

Этап 2.1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Этап 2.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\ln (\frac{(2 x^{2} + 5 x) - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Этап 2.1.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\ln (\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{x^{2}}) = 0$

Этап 2.1.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 5$ .

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$(2 x + 5) (x - 7) = e^{0} (x^{2})$

Этап 5

Упростим $e^{0} (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = 1 x^{2}$

Этап 5.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = x^{2}$

Этап 6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$(2 x + 5) (x - 7) - x^{2} = 0$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Развернем $(2 x + 5) (x - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (x - 7) + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Этап 6.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Этап 6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Этап 6.2.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Этап 6.2.2.1.2

Умножим $- 7$ на $2$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Этап 6.2.2.1.3

Умножим $5$ на $- 7$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 - x^{2} = 0$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 14 x$ и $5 x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0$

Этап 6.3

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Этап 7

Добавим $35$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 9 x = 35$

Этап 8

Вычтем $35$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Этап 9

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 10

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 9$ и $c = - 35$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 35)}}{2 \cdot 1}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 35$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 140}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.1.3

Добавим $81$ и $140$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2}$

Этап 12

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}, \frac{9 - \sqrt{221}}{2}$

Этап 13

Исключим решения, которые не делают $\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$ истинным.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 11.93303437 \dots$