Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x^{2} + x - 20) = 1$

Этап 1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2} + x - 20)} = e^{1}$

Этап 2

Перепишем $\ln (x^{2} + x - 20) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2} + x - 20$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + x - 20 = e^{1}$ .

$x^{2} + x - 20 = e$

Этап 3.2

Вычтем $e$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 20 - e = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = - 20 - e$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 20 - e))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 20 - e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 20 - e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 20 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $- 4$ на $- 20$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.6

Добавим $1$ и $80$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{81 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{81 + 4 e}}{2}$

Этап 3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - \sqrt{81 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{81 + 4 e}}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1 - \sqrt{81 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{81 + 4 e}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 4.29252353 \dots, - 5.29252353 \dots$