Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} = 2$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{1 - x}$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{1 + x} = 2 - \sqrt{1 - x}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 + x}}^{2} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + x}$ в виде ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 + x)}^{1} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$1 + x = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$ в виде $(2 - \sqrt{1 - x}) (2 - \sqrt{1 - x})$ .

$1 + x = (2 - \sqrt{1 - x}) (2 - \sqrt{1 - x})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(2 - \sqrt{1 - x}) (2 - \sqrt{1 - x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + x = 2 (2 - \sqrt{1 - x}) - \sqrt{1 - x} (2 - \sqrt{1 - x})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + x = 2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{1 - x}) - \sqrt{1 - x} (2 - \sqrt{1 - x})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + x = 2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{1 - x}) - \sqrt{1 - x} \cdot 2 - \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$1 + x = 4 + 2 (- \sqrt{1 - x}) - \sqrt{1 - x} \cdot 2 - \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 - x} \cdot 2 - \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + 1 \sqrt{1 - x} \sqrt{1 - x}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{1 - x}$ на $1$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - x} \sqrt{1 - x}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{1 - x}$ в степень $1$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {\sqrt{1 - x}}^{1} \sqrt{1 - x}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{1 - x}$ в степень $1$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {\sqrt{1 - x}}^{1} {\sqrt{1 - x}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {\sqrt{1 - x}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {\sqrt{1 - x}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{1 - x}}^{2}$ в виде $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x}$ в виде ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {(1 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {(1 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {(1 - x)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + 1 - x$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $4$ и $1$ .

$1 + x = 5 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} - x$

Этап 3.3.1.3.3

Вычтем $2 \sqrt{1 - x}$ из $- 2 \sqrt{1 - x}$ .

$1 + x = 5 - 4 \sqrt{1 - x} - x$

Этап 4

Решим относительно $- 4 \sqrt{1 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $5 - 4 \sqrt{1 - x} - x = 1 + x$ .

$5 - 4 \sqrt{1 - x} - x = 1 + x$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $- 4 \sqrt{1 - x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sqrt{1 - x} - x = 1 + x - 5$

Этап 4.2.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$- 4 \sqrt{1 - x} = 1 + x - 5 + x$

Этап 4.2.3

Вычтем $5$ из $1$ .

$- 4 \sqrt{1 - x} = x - 4 + x$

Этап 4.2.4

Добавим $x$ и $x$ .

$- 4 \sqrt{1 - x} = 2 x - 4$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 4 \sqrt{1 - x})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x}$ в виде ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(- 4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $- 4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$16 {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 {(1 - x)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$16 (1 - x) = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$16 \cdot 1 + 16 (- x) = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Умножим $16$ на $1$ .

$16 + 16 (- x) = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$16 - 16 x = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(2 x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(2 x - 4)}^{2}$ в виде $(2 x - 4) (2 x - 4)$ .

$16 - 16 x = (2 x - 4) (2 x - 4)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(2 x - 4) (2 x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 - 16 x = 2 x (2 x - 4) - 4 (2 x - 4)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 - 16 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x - 4)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 - 16 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 - 16 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$16 - 16 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$16 - 16 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$16 - 16 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$16 - 16 x = 4 x^{2} - 8 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$16 - 16 x = 4 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 4$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$16 - 16 x = 4 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$16 - 16 x = 4 x^{2} - 16 x + 16$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} - 16 x + 16 = 16 - 16 x$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $16 x$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} - 16 x + 16 + 16 x = 16$

Этап 7.2.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{2} - 16 x + 16 + 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $- 16 x$ и $16 x$ .

$4 x^{2} + 0 + 16 = 16$

Этап 7.2.2.2

Добавим $4 x^{2}$ и $0$ .

$4 x^{2} + 16 = 16$

Этап 7.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} = 16 - 16$

Этап 7.3.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$4 x^{2} = 0$

Этап 7.4

Разделим каждый член $4 x^{2} = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 7.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 7.4.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Этап 7.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x^{2} = 0$

Этап 7.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 7.6

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 7.6.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$