Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x) + \ln (x + 1) = 8$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 1)) = 8$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 1) = 8$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 1) = 8$

Этап 1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (x^{2} + x) = 8$

Этап 2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2} + x)} = e^{8}$

Этап 3

Перепишем $\ln (x^{2} + x) = 8$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{8} = x^{2} + x$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + x = e^{8}$ .

$x^{2} + x = e^{8}$

Этап 4.2

Вычтем $e^{8}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - e^{8} = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = - e^{8}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{8}))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{8})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 e^{8})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 e^{8}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 e^{8}}}{2}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{8}}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{1 + 4 e^{8}}}{2}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\ln (x) + \ln (x + 1) = 8$ истинным.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{8}}}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 e^{8}}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 54.10043944 \dots$