Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x) + \ln (x + 2) = 7$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 2)) = 7$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2) = 7$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2) = 7$

Этап 1.3.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x) = 7$

Этап 2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2} + 2 x)} = e^{7}$

Этап 3

Перепишем $\ln (x^{2} + 2 x) = 7$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{7} = x^{2} + 2 x$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 2 x = e^{7}$ .

$x^{2} + 2 x = e^{7}$

Этап 4.2

Вычтем $e^{7}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x - e^{7} = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = - e^{7}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{7}))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{7})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 e^{7})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 e^{7}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3

Перепишем $4 + 4 e^{7}$ в виде $2^{2} (1 + e^{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 e^{7}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $4 e^{7}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (e^{7})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (e^{7})$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + e^{7})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + e^{7})}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + e^{7}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + e^{7}}}{2}$

Этап 4.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + e^{7}}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{1 + e^{7}}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + \sqrt{1 + e^{7}}, - 1 - \sqrt{1 + e^{7}}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\ln (x) + \ln (x + 2) = 7$ истинным.

$x = - 1 + \sqrt{1 + e^{7}}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 1 + \sqrt{1 + e^{7}}$

Десятичная форма:

$x = 32.13054720 \dots$