Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x) + \ln (x - 4) = \ln (2 x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x - 4)) = \ln (2 x)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 4) = \ln (2 x)$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 4) = \ln (2 x)$

Этап 1.3.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$\ln (x^{2} - 4 x) = \ln (2 x)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} - 4 x = 2 x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x - 2 x = 0$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 x$ из $- 4 x$ .

$x^{2} - 6 x = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 6 x = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 6 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 6 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 6$ .

$x (x - 6) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 6) = 0$ верно.

$x = 0, 6$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (x) + \ln (x - 4) = \ln (2 x)$ истинным.

$x = 6$