Основы мат. анализа Примеры

$\cot (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$3 x = arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{3}$

Этап 3

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{3}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{3}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.3.2

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$x = \frac{π}{9}$

Этап 4

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$3 x = π + \frac{π}{3}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 5.1.2

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 5.1.4

Добавим $π \cdot 3$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $3$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 5.1.4.2

Добавим $3 \cdot π$ и $π$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Умножим $\frac{4 π}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Этап 5.2.3.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$x = \frac{4 π}{9}$

Этап 6

Найдем период $\cot (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 3 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 7

Период функции $\cot (3 x)$ равен $\frac{π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$