Основы мат. анализа Примеры

$\csc (x) = 16 \sin (x)$

Этап 1

Разделим каждый член $\csc (x) = 16 \sin (x)$ на $\csc (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\csc (x) = 16 \sin (x)$ на $\csc (x)$ .

$\frac{\csc (x)}{\csc (x)} = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\csc (x)}{\csc (x)} = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим дроби.

$1 = \frac{16}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)}$

Этап 1.3.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$1 = \frac{16}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 1.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$1 = \frac{16}{1} (\sin (x) \sin (x))$

Этап 1.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 = \frac{16}{1} (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Этап 1.3.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 = \frac{16}{1} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Этап 1.3.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 = \frac{16}{1} {\sin (x)}^{1 + 1}$

Этап 1.3.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 = \frac{16}{1} \sin^{2} (x)$

Этап 1.3.5

Разделим $16$ на $1$ .

$1 = 16 \sin^{2} (x)$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $16 \sin^{2} (x) = 1$ .

$16 \sin^{2} (x) = 1$

Этап 3

Разделим каждый член $16 \sin^{2} (x) = 1$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $16 \sin^{2} (x) = 1$ на $16$ .

$\frac{16 \sin^{2} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 \sin^{2} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{16}$

Этап 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{16}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

Этап 5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{16}}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Этап 5.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (x) = \pm \frac{1}{4}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Этап 7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

Этап 8

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1}{4})$ .

$x = 0.25268025$

Этап 8.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Этап 8.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

Этап 8.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Этап 8.4.3

Вычтем $0.25268025$ из $3.14159265$ .

$x = 2.88891239$

Этап 8.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{4})$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{1}{4})$ .

$x = - 0.25268025$

Этап 9.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$

Этап 9.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 9.4.2

Результирующий угол $3.3942729$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 3.3942729$

Этап 9.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 9.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Добавим $2 π$ к $- 0.25268025$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.25268025 + 2 π$

Этап 9.6.2

Вычтем $0.25268025$ из $2 π$ .

$6.03050505$

Этап 9.6.3

Перечислим новые углы.

$x = 6.03050505$

Этап 9.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.3942729 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Перечислим все решения.

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n, 3.3942729 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $0.25268025 + 2 π n$ и $3.3942729 + 2 π n$ в $0.25268025 + π n$ .

$x = 0.25268025 + π n, 2.88891239 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11.2

Объединим $2.88891239 + 2 π n$ и $6.03050505 + 2 π n$ в $2.88891239 + π n$ .

$x = 0.25268025 + π n, 2.88891239 + π n$ , для любого целого $n$