Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{(2 x + 1) (x - 9)}{x^{2}}) = 0$

Этап 1

Перепишем $\ln (\frac{(2 x + 1) (x - 9)}{x^{2}}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2 x + 1) (x - 9)}{x^{2}}$

Этап 2

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$(2 x + 1) (x - 9) = e^{0} (x^{2})$

Этап 3

Упростим $e^{0} (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$(2 x + 1) (x - 9) = 1 x^{2}$

Этап 3.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$(2 x + 1) (x - 9) = x^{2}$

Этап 4

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$(2 x + 1) (x - 9) - x^{2} = 0$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Развернем $(2 x + 1) (x - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (x - 9) + 1 (x - 9) - x^{2} = 0$

Этап 4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 1 (x - 9) - x^{2} = 0$

Этап 4.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Этап 4.2.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $- 9$ на $2$ .

$2 x^{2} - 18 x + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x^{2} - 18 x + x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$2 x^{2} - 18 x + x - 9 - x^{2} = 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 18 x$ и $x$ .

$2 x^{2} - 17 x - 9 - x^{2} = 0$

Этап 4.3

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 17 x - 9 = 0$

Этап 5

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 17 x = 9$

Этап 6

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 17 x - 9 = 0$

Этап 7

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 8

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 17$ и $c = - 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 17$ в степень $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 1 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.3

Добавим $289$ и $36$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{325}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.4

Перепишем $325$ в виде $5^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Вынесем множитель $25$ из $325$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{25 (13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.4.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{17 \pm 5 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{17 \pm 5 \sqrt{13}}{2}$

Этап 10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{17 + 5 \sqrt{13}}{2}, \frac{17 - 5 \sqrt{13}}{2}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{17 + 5 \sqrt{13}}{2}, \frac{17 - 5 \sqrt{13}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 17.51387818 \dots, - 0.51387818 \dots$