Основы мат. анализа Примеры

$\cos (2 x) - \sqrt{3} \sin (x) = 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (2 x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1 = 0$

Этап 2.2

Объединим противоположные члены в $1 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Этап 2.2.2

Вычтем $2 \sin^{2} (x)$ из $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sqrt{3} \sin (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) (- \sqrt{3}) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) (- \sqrt{3})$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Этап 5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ к $0$ .

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Этап 6.2

Решим $- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $\sqrt{3}$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Этап 6.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Этап 6.2.6.2

Результирующий угол $\frac{4 π}{3}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{3} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 6.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Этап 6.2.8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 6.2.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 6.2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Этап 6.2.8.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Этап 6.2.8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 6.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (- 2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$