Основы мат. анализа Примеры

$\cos (2 x) + \cos (4 x) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (4 x) = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (2 (2 x)) = 0$

Этап 1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1 = 0$

Этап 1.1.3.2

Перепишем ${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ в виде $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Этап 1.1.3.3

Развернем $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Этап 1.1.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Этап 1.1.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Этап 1.1.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Этап 1.1.3.4.1.2

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.2.1

Перенесем $\cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x))) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Этап 1.1.3.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 {\cos (x)}^{2 + 2}) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Этап 1.1.3.4.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 \cos^{4} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Этап 1.1.3.4.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Этап 1.1.3.4.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Этап 1.1.3.4.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Этап 1.1.3.4.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1 = 0$

Этап 1.1.3.4.2

Вычтем $2 \cos^{2} (x)$ из $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1 = 0$

Этап 1.1.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Этап 1.1.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Умножим $4$ на $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Этап 1.1.3.6.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Этап 1.1.3.6.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1 = 0$

Этап 1.1.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Этап 1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим противоположные члены в $2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + 0 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 1.2.1.2

Добавим $2 \cos^{2} (x)$ и $0$ .

$2 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 1.2.2

Вычтем $8 \cos^{2} (x)$ из $2 \cos^{2} (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $2 \cos^{2} (x)$ из $- 6 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2 \cos^{2} (x)$ из $- 6 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 8 \cos^{4} (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2 \cos^{2} (x)$ из $8 \cos^{4} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 2 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $2 \cos^{2} (x)$ из $2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 2 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x))$ .

$2 \cos^{2} (x) (- 3 + 4 \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 4

Приравняем $\cos^{2} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cos^{2} (x)$ к $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\cos^{2} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (x) = \pm 0$

Этап 4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.6

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 4.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 4.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $- 3 + 4 \cos^{2} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $- 3 + 4 \cos^{2} (x)$ к $0$ .

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 \cos^{2} (x) = 3$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $4 \cos^{2} (x) = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $4 \cos^{2} (x) = 3$ на $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Этап 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.2.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.2.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.2.7

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 5.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.2.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 5.2.7.3

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.7.4

Упростим $2 π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.7.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.7.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 5.2.7.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.4.3.1

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Этап 5.2.7.4.3.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 5.2.7.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.7.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.8

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 5.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.2.1

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 5.2.8.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Этап 5.2.8.4

Упростим $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 5.2.8.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Этап 5.2.8.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Этап 5.2.8.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.4.3.1

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Этап 5.2.8.4.3.2

Вычтем $5 π$ из $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 5.2.8.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.8.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.9

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.10

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Объединим $\frac{π}{6} + 2 π n$ и $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ в $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2.10.2

Объединим $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ и $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ в $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \cos^{2} (x) (- 3 + 4 \cos^{2} (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7.2

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$