Основы мат. анализа Примеры

$\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} \geq 1$

Этап 1

Упростим $\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{6}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{6}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x} \geq 1$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{6}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{6}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 1$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 1) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{6}{x - 1}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{6 x}{(x - 1) x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 1$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{6}{x}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{6 x}{(x - 1) x} - \frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) x$ .

$\frac{6 x}{x (x - 1)} - \frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 x - 6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x - 6 (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$\frac{6 (x) - 6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Этап 1.5.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6 (x - 1)$ .

$\frac{6 (x) + 6 (- (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 1$

Этап 1.5.1.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (x) + 6 (- (x - 1))$ .

$\frac{6 (x - (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 1$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (x - x - - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Этап 1.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{6 (x - x + 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Этап 1.5.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{6 (0 + 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Этап 1.5.5

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{x (x - 1)} \geq 1$

Этап 1.6

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{6}{x (x - 1)} \geq 1$

Этап 2

Умножим обе части на $x (x - 1)$ .

$\frac{6}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = 1 (x (x - 1))$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $x (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = 1 (x (x - 1))$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$6 = 1 (x (x - 1))$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $1 (x (x - 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Умножим $x (x - 1)$ на $1$ .

$6 = x (x - 1)$

Этап 3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 = x \cdot x + x \cdot - 1$

Этап 3.2.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$6 = x^{2} + x \cdot - 1$

Этап 3.2.1.1.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$6 = x^{2} - 1 \cdot x$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$6 = x^{2} - x$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - x = 6$ .

$x^{2} - x = 6$

Этап 4.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Этап 4.3

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 3, - 2$

Этап 5

Найдем область определения $\frac{6}{x (x - 1)} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{6}{x (x - 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x (x - 1) = 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 5.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{6}{(- 4) - 1} - \frac{6}{- 4} \geq 1$

Этап 7.1.3

Левая часть $0.3$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$\frac{6}{(- 1) - 1} - \frac{6}{- 1} \geq 1$

Этап 7.2.3

Левая часть $3$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{6}{(0.5) - 1} - \frac{6}{0.5} \geq 1$

Этап 7.3.3

Левая часть $- 24$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.4

Проверим значение на интервале $1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 7.4.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{6}{(2) - 1} - \frac{6}{2} \geq 1$

Этап 7.4.3

Левая часть $3$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.5

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 7.5.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{6}{(6) - 1} - \frac{6}{6} \geq 1$

Этап 7.5.3

Левая часть $0.2$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Истина

$0 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Истина

$0 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 \leq x < 0$ или $1 < x \leq 3$

Этап 9

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[- 2, 0) \cup (1, 3]$

Этап 10