Основы мат. анализа Примеры

$\cos (x) + 1 = \sin (x)$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = \sin (x) - 1$

Этап 2

Возведем в квадрат обе части уравнения.

$\cos^{2} (x) = {(\sin (x) - 1)}^{2}$

Этап 3

Упростим ${(\sin (x) - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(\sin (x) - 1)}^{2}$ в виде $(\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$ .

$\cos^{2} (x) = (\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$

Этап 3.2

Развернем $(\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) (\sin (x) - 1) - 1 (\sin (x) - 1)$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 (\sin (x) - 1)$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (x) = {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - 1 \cdot \sin (x) - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.3

Перепишем $- 1 \sin (x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Перепишем $- 1 \sin (x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1$

Этап 3.3.2

Вычтем $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$

Этап 4

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\sin^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = - 2 \sin (x) + 1$

Этап 4.2

Добавим $2 \sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 1$

Этап 4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 5

Упростим $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $- 1$ .

$\cos^{2} (x) - 1 - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.2

Изменим порядок $\cos^{2} (x)$ и $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.6

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.7

Применим формулу Пифагора.

$- \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.8

Вычтем $\sin^{2} (x)$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ для всех.

$- 2 u^{2} + 2 u = 0$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $2 u$ из $- 2 u^{2} + 2 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $2 u$ из $- 2 u^{2}$ .

$2 u (- u) + 2 u = 0$

Этап 6.1.2.2

Вынесем множитель $2 u$ из $2 u$ .

$2 u (- u) + 2 u (1) = 0$

Этап 6.1.2.3

Вынесем множитель $2 u$ из $2 u (- u) + 2 u (1)$ .

$2 u (- u + 1) = 0$

Этап 6.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$

Этап 6.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \sin (x) + 1 = 0$

Этап 6.3

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 6.3.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 6.3.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 6.3.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 6.3.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.3.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.3.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.4

Приравняем $- \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $- \sin (x) + 1$ к $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $- \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (x) = - 1$

Этап 6.4.2.2

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.4.2.2.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Этап 6.4.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 6.4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6.4.2.5

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 6.4.2.6

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.4.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.4.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.4.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.6.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 6.4.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6.4.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.4.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\cos (x) + 1 = \sin (x)$ истинным.

$x = 1.57079632, 3.14159265, 7.85398163, 9.42477796, 14.13716694, 15.70796326, 20.42035224, 21.99114857, 26.70353755, 32.98672286, 39.26990816, 45.55309347$ , для любого целого $n$