Основы мат. анализа Примеры

cos (5 x) = 0

$\cos (5 x) = 0$

Этап 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из косинуса.

$5 x = \arccos (0)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение

$\arccos (0)$ :

$\frac{π}{2}$ .

$5 x = \frac{π}{2}$

Этап 3

Разделим каждый член

$5 x = \frac{π}{2}$ на

$5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член

$5 x = \frac{π}{2}$ на

$5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Этап 3.2.1.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{5}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 3.3.2

Умножим

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим

$\frac{π}{2}$ на

$\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 5}$

Этап 3.3.2.2

Умножим

$2$ на

$5$ .

$x = \frac{π}{10}$

Этап 4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из

$2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$5 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.1.2

Объединим

$2 π$ и

$\frac{2}{2}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.1.4

Умножим

$2$ на

$2$ .

$5 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.1.5

Вычтем

$π$ из

$4 π$ .

$5 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2

Разделим каждый член

$5 x = \frac{3 π}{2}$ на

$5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член

$5 x = \frac{3 π}{2}$ на

$5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим

$x$ на

$1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 5.2.3.2

Умножим

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Умножим

$\frac{3 π}{2}$ на

$\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 5}$

Этап 5.2.3.2.2

Умножим

$2$ на

$5$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

Этап 6

Найдем период

$\cos (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим

$b$ на

$5$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$5$ равно

$5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Этап 7

Период функции

$\cos (5 x)$ равен

$\frac{2 π}{5}$ . Поэтому значения повторяются через каждые

$\frac{2 π}{5}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{10} + \frac{2 π n}{5}, \frac{3 π}{10} + \frac{2 π n}{5}$ , для любого целого

$n$

Этап 8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{10} + \frac{π n}{5}$ , для любого целого

$n$