Основы мат. анализа Примеры

$\cos (x) = \cot (x)$

Этап 1

Разделим каждый член $\cos (x) = \cot (x)$ на $\cos (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\cos (x) = \cot (x)$ на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\cot (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\cot (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{\cot (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$1 = \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x)}$

Этап 1.3.2

Перепишем $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$1 = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 1.3.4

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$1 = \csc (x)$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $\csc (x) = 1$ .

$\csc (x) = 1$

Этап 3

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (1)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $arccsc (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 6

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 6.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 7

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$