Основы мат. анализа Примеры

$6 \tan (x) + 4 = 5 (1 + \tan (x))$

Этап 1

Упростим $5 (1 + \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$6 \tan (x) + 4 = 0 + 0 + 5 (1 + \tan (x))$

Этап 1.2

Упростим путем добавления нулей.

$6 \tan (x) + 4 = 5 (1 + \tan (x))$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 \tan (x) + 4 = 5 \cdot 1 + 5 \tan (x)$

Этап 1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$6 \tan (x) + 4 = 5 + 5 \tan (x)$

Этап 2

Перенесем все члены с $\tan (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $5 \tan (x)$ из обеих частей уравнения.

$6 \tan (x) + 4 - 5 \tan (x) = 5$

Этап 2.2

Вычтем $5 \tan (x)$ из $6 \tan (x)$ .

$\tan (x) + 4 = 5$

Этап 3

Перенесем все члены без $\tan (x)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = 5 - 4$

Этап 3.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 4

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 6

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 7

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 7.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 8

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 8.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 9

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$