Основы мат. анализа Примеры

$6 x - 11 \sqrt{x} + 4 = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $- 11 \sqrt{x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$- 11 \sqrt{x} + 4 = - 6 x$

Этап 1.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 11 \sqrt{x} = - 6 x - 4$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 11 \sqrt{x})}^{2} = {(- 6 x - 4)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 11 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 x - 4)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(- 11 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $- 11 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 11)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 x - 4)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 11$ в степень $2$ .

$121 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 x - 4)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$121 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6 x - 4)}^{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$121 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6 x - 4)}^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$121 x^{1} = {(- 6 x - 4)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Упростим.

$121 x = {(- 6 x - 4)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(- 6 x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(- 6 x - 4)}^{2}$ в виде $(- 6 x - 4) (- 6 x - 4)$ .

$121 x = (- 6 x - 4) (- 6 x - 4)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(- 6 x - 4) (- 6 x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$121 x = - 6 x (- 6 x - 4) - 4 (- 6 x - 4)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$121 x = - 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 4 - 4 (- 6 x - 4)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$121 x = - 6 x (- 6 x) - 6 x \cdot - 4 - 4 (- 6 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$121 x = - 6 \cdot - 6 x \cdot x - 6 x \cdot - 4 - 4 (- 6 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$121 x = - 6 \cdot - 6 (x \cdot x) - 6 x \cdot - 4 - 4 (- 6 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$121 x = - 6 \cdot - 6 x^{2} - 6 x \cdot - 4 - 4 (- 6 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$121 x = 36 x^{2} - 6 x \cdot - 4 - 4 (- 6 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$121 x = 36 x^{2} + 24 x - 4 (- 6 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $- 6$ на $- 4$ .

$121 x = 36 x^{2} + 24 x + 24 x - 4 \cdot - 4$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$121 x = 36 x^{2} + 24 x + 24 x + 16$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $24 x$ и $24 x$ .

$121 x = 36 x^{2} + 48 x + 16$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$36 x^{2} + 48 x + 16 = 121 x$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $121 x$ из обеих частей уравнения.

$36 x^{2} + 48 x + 16 - 121 x = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $121 x$ из $48 x$ .

$36 x^{2} - 73 x + 16 = 0$

Этап 4.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 36 \cdot 16 = 576$ , а сумма — $b = - 73$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $- 73$ из $- 73 x$ .

$36 x^{2} - 73 x + 16 = 0$

Этап 4.3.1.2

Запишем $- 73$ как $- 9$ плюс $- 64$

$36 x^{2} + (- 9 - 64) x + 16 = 0$

Этап 4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x^{2} - 9 x - 64 x + 16 = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(36 x^{2} - 9 x) - 64 x + 16 = 0$

Этап 4.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$9 x (4 x - 1) - 16 (4 x - 1) = 0$

Этап 4.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (9 x - 16) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$9 x - 16 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $4 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 1$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 4.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Этап 4.6

Приравняем $9 x - 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $9 x - 16$ к $0$ .

$9 x - 16 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $9 x - 16 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$9 x = 16$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $9 x = 16$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = 16$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{16}{9}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{16}{9}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{16}{9}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x - 1) (9 x - 16) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{4}, \frac{16}{9}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{4}, \frac{16}{9}$

Десятичная форма:

$x = 0.25, 1.\overline{7}$

Форма смешанных чисел:

$x = \frac{1}{4}, 1 \frac{7}{9}$