Основы мат. анализа Примеры

$9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1 = 0$

Этап 1

Разложим $9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}$

Этап 1.3

Подставим $- 0.\overline{3}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.\overline{3}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 0.\overline{3}$ в многочлен.

$9 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Этап 1.3.2

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $3$ .

$9 \cdot - 0.\overline{037} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Этап 1.3.3

Умножим $9$ на $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{3} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Этап 1.3.4

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$- 0.\overline{3} - 12 \cdot 0.\overline{1} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Этап 1.3.5

Умножим $- 12$ на $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{3} - 1.\overline{3} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Этап 1.3.6

Вычтем $1.\overline{3}$ из $- 0.\overline{3}$ .

$- 1.\overline{6} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Этап 1.3.7

Умножим $- 8$ на $- 0.\overline{3}$ .

$- 1.\overline{6} + 2.\overline{6} - 1$

Этап 1.3.8

Добавим $- 1.\overline{6}$ и $2.\overline{6}$ .

$1 - 1$

Этап 1.3.9

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 0.\overline{3}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1}{3 x + 1}$

Этап 1.5

Разделим $9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ на $3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$8 x$

$1$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $9 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$3 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			+	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $9 x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$15 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 x^{2} - 5 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	-	$1$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x - 1$ .

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	+	$1$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	+	$1$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$3 x^{2} - 5 x - 1$

Этап 1.6

Запишем $9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ в виде набора множителей.

$(3 x + 1) (3 x^{2} - 5 x - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 4

Приравняем $3 x^{2} - 5 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 x^{2} - 5 x - 1$ к $0$ .

$3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2.2

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 5$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.3.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.3.1.3

Добавим $25$ и $12$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{6}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 1) (3 x^{2} - 5 x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{3}, \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

Десятичная форма:

$x = - 0.\overline{3}, 1.84712708 \dots, - 0.18046042 \dots$