Основы мат. анализа Примеры

$8 e^{2 x} + 8 e^{x} = 6$

Этап 1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде степенного выражения.

$8 {(e^{x})}^{2} + 8 e^{x} = 6$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$8 u^{2} + 8 u = 6$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$8 u^{2} + 8 u - 6 = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8 u^{2} + 8 u - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 u^{2}$ .

$2 (4 u^{2}) + 8 u - 6 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8 u$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (4 u) - 6 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (4 u) + 2 (- 3) = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 u^{2}) + 2 (4 u)$ .

$2 (4 u^{2} + 4 u) + 2 (- 3) = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 u^{2} + 4 u) + 2 (- 3)$ .

$2 (4 u^{2} + 4 u - 3) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 u$ .

$2 (4 u^{2} + 4 (u) - 3) = 0$

Этап 3.2.2.1.1.2

Запишем $4$ как $- 2$ плюс $6$

$2 (4 u^{2} + (- 2 + 6) u - 3) = 0$

Этап 3.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (4 u^{2} - 2 u + 6 u - 3) = 0$

Этап 3.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((4 u^{2} - 2 u) + 6 u - 3) = 0$

Этап 3.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (2 u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1)) = 0$

Этап 3.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$2 ((2 u - 1) (2 u + 3)) = 0$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (2 u - 1) (2 u + 3) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$2 u + 3 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $2 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 1$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Этап 3.5

Приравняем $2 u + 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $2 u + 3$ к $0$ .

$2 u + 3 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $2 u + 3 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 u = - 3$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $2 u = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{3}{2}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (2 u - 1) (2 u + 3) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$

Этап 4

Подставим $\frac{1}{2}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} = e^{x}$

Этап 5

Решим $\frac{1}{2} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{1}{2}$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 5.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 6

Подставим $- \frac{3}{2}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$- \frac{3}{2} = e^{x}$

Этап 7

Решим $- \frac{3}{2} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = - \frac{3}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{3}{2}$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{3}{2})$

Этап 7.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- \frac{3}{2})$ не определено.

Неопределенные

Этап 7.4

Нет решения для $e^{x} = - \frac{3}{2}$

Нет решения

Этап 8

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Десятичная форма:

$x = - 0.69314718 \dots$