Основы мат. анализа Примеры

$x = \frac{3}{x} + \frac{1}{2}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 2$

Этап 1.2

Since $1, x, 2$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 2$ then find LCM for the variable part $x^{1}$ .

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 1.6

НОК $1, 1, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 1.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 1.9

НОК $1, x, 2$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 x$

Этап 2

Каждый член в $x = \frac{3}{x} + \frac{1}{2}$ умножим на $2 x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $x = \frac{3}{x} + \frac{1}{2}$ на $2 x$ .

$x (2 x) = \frac{3}{x} (2 x) + \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x \cdot x = \frac{3}{x} (2 x) + \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 2.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) = \frac{3}{x} (2 x) + \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 2.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} = \frac{3}{x} (2 x) + \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x^{2} = 2 \frac{3}{x} x + \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2 \frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Объединим $2$ и $\frac{3}{x}$ .

$2 x^{2} = \frac{2 \cdot 3}{x} x + \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$2 x^{2} = \frac{6}{x} x + \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 2.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} = \frac{6}{x} x + \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} = 6 + \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2 x^{2} = 6 + \frac{1}{2} (2 (x))$

Этап 2.3.1.4.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} = 6 + \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 2.3.1.4.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} = 6 + x$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - x = 6$

Этап 3.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - x - 6 = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 6 = 0$

Этап 3.3.1.2

Запишем $- 1$ как $3$ плюс $- 4$

$2 x^{2} + (3 - 4) x - 6 = 0$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 3 x - 4 x - 6 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} + 3 x) - 4 x - 6 = 0$

Этап 3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x + 3) - 2 (2 x + 3) = 0$

Этап 3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 3$ .

$(2 x + 3) (x - 2) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 3.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 3) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{3}{2}, 2$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{3}{2}, 2$

Десятичная форма:

$x = - 1.5, 2$

Форма смешанных чисел:

$x = - 1 \frac{1}{2}, 2$