Основы мат. анализа Примеры

$x - \sqrt{x} - 12 = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $- \sqrt{x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- \sqrt{x} - 12 = - x$

Этап 1.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$- \sqrt{x} = - x + 12$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{x})}^{2} = {(- x + 12)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 12)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $- x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 12)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 12)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Умножим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 12)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 12)}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 12)}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- x + 12)}^{2}$

Этап 3.2.1.5

Упростим.

$x = {(- x + 12)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(- x + 12)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(- x + 12)}^{2}$ в виде $(- x + 12) (- x + 12)$ .

$x = (- x + 12) (- x + 12)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(- x + 12) (- x + 12)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = - x (- x + 12) + 12 (- x + 12)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = - x (- x) - x \cdot 12 + 12 (- x + 12)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = - x (- x) - x \cdot 12 + 12 (- x) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 12 + 12 (- x) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 12 + 12 (- x) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 12 + 12 (- x) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 x^{2} - x \cdot 12 + 12 (- x) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x = x^{2} - x \cdot 12 + 12 (- x) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $12$ на $- 1$ .

$x = x^{2} - 12 x + 12 (- x) + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $12$ .

$x = x^{2} - 12 x - 12 x + 12 \cdot 12$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $12$ на $12$ .

$x = x^{2} - 12 x - 12 x + 144$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $12 x$ из $- 12 x$ .

$x = x^{2} - 24 x + 144$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 24 x + 144 = x$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 24 x + 144 - x = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из $- 24 x$ .

$x^{2} - 25 x + 144 = 0$

Этап 4.3

Разложим $x^{2} - 25 x + 144$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $144$ , а сумма — $- 25$ .

$- 16, - 9$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 16) (x - 9) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 16 = 0$

$x - 9 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 16$ к $0$ .

$x - 16 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x = 16$

Этап 4.6

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 16) (x - 9) = 0$ верно.

$x = 16, 9$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $x - \sqrt{x} - 12 = 0$ истинным.

$x = 16$