Основы мат. анализа Примеры

$\tan (X) \cos (X) = \cos (X)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\tan (X) \cos (X)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (X)}{\cos (X)} \cos (X) = \cos (X)$

Этап 1.1.2

Сократим общие множители.

$\sin (X) = \cos (X)$

Этап 2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (X)$ .

$\frac{\sin (X)}{\cos (X)} = \frac{\cos (X)}{\cos (X)}$

Этап 3

Переведем $\frac{\sin (X)}{\cos (X)}$ в $\tan (X)$ .

$\tan (X) = \frac{\cos (X)}{\cos (X)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $\cos (X)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (X) = \frac{\cos (X)}{\cos (X)}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (X) = 1$

Этап 5

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $X$ из тангенса.

$X = \arctan (1)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$X = \frac{π}{4}$

Этап 7

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$X = π + \frac{π}{4}$

Этап 8

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$X = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 8.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$X = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 8.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$X = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$X = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 8.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$X = \frac{5 π}{4}$

Этап 9

Найдем период $\tan (X)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 9.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 9.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 10

Период функции $\tan (X)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$X = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим ответы.

$X = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$