Основы мат. анализа Примеры

$\tan (3 x) (\tan (x - 1)) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (3 x) = 0$

$\tan (x - 1) = 0$

Этап 2

Приравняем $\tan (3 x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $\tan (3 x)$ к $0$ .

$\tan (3 x) = 0$

Этап 2.2

Решим $\tan (3 x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$3 x = \arctan (0)$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$3 x = 0$

Этап 2.2.3

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Этап 2.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x = 0$

Этап 2.2.4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$3 x = π + 0$

Этап 2.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Добавим $π$ и $0$ .

$3 x = π$

Этап 2.2.5.2

Разделим каждый член $3 x = π$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Разделим каждый член $3 x = π$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Этап 2.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Этап 2.2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 2.2.6

Найдем период $\tan (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.2.6.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 3 |}$

Этап 2.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 2.2.7

Период функции $\tan (3 x)$ равен $\frac{π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Приравняем $\tan (x - 1)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\tan (x - 1)$ к $0$ .

$\tan (x - 1) = 0$

Этап 3.2

Решим $\tan (x - 1) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x - 1 = \arctan (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.2.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.2.4

$x - 1 = π + 0$

Этап 3.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Добавим $π$ и $0$ .

$x - 1 = π$

Этап 3.2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = π + 1$

Этап 3.2.6

Найдем период $\tan (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2.7

Период функции $\tan (x - 1)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1 + π n, π + 1 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $\tan (3 x) \tan (x - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}, 1 + π n, π + 1 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{π n}{3}$ и $\frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ в $\frac{π n}{3}$ .

$x = \frac{π n}{3}, 1 + π n, π + 1 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.2

Объединим $1 + π n$ и $π + 1 + π n$ в $1 + π n$ .

$x = \frac{π n}{3}, 1 + π n$ , для любого целого $n$