Основы мат. анализа Примеры

$\tan (2 x) = \tan (x)$

Этап 1

Вычтем $\tan (x)$ из обеих частей уравнения.

$\tan (2 x) - \tan (x) = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим формулу двойного угла для тангенса.

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

Этап 2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 \tan (x)}{1^{2} - \tan^{2} (x)} - \tan (x) = 0$

Этап 2.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \tan (x)$ .

$\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\frac{2 \tan (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$ .

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - \tan (x) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $- \tan (x)$ .

$\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan (x) \frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} + \tan (x) \cdot - 1$ .

$\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 5.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 5.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 5.2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.2.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1$ к $0$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)), 1, 1$

Этап 6.2.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$

Этап 6.2.2

Каждый член в $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ умножим на $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим каждый член $\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1 = 0$ на $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 - ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.2

Развернем $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 - (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 - (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$2 - (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.3.1.2

Умножим $- \tan (x)$ на $1$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.3.1.3

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.3.1.5

Умножим $\tan (x)$ на $\tan (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.3.1.5.1

Перенесем $\tan (x)$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x))) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.3.1.5.2

Умножим $\tan (x)$ на $\tan (x)$ .

$2 - (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.3.2

Добавим $- \tan (x)$ и $\tan (x)$ .

$2 - (1 + 0 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$2 - (1 - \tan^{2} (x)) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 - 1 \cdot 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 - 1 - - \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.6

Умножим $- - \tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 - 1 + 1 \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.1.6.2

Умножим $\tan^{2} (x)$ на $1$ .

$2 - 1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 ((1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Развернем $(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 (1 - \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) (1 - \tan (x)))$

Этап 6.2.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Этап 6.2.2.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 1 (- \tan (x)) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Этап 6.2.2.3.2.1.2

Умножим $- \tan (x)$ на $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \tan (x)))$

Этап 6.2.2.3.2.1.3

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)))$

Этап 6.2.2.3.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan (x) \tan (x))$

Этап 6.2.2.3.2.1.5

Умножим $\tan (x)$ на $\tan (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1.5.1

Перенесем $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - (\tan (x) \tan (x)))$

Этап 6.2.2.3.2.1.5.2

Умножим $\tan (x)$ на $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan (x) + \tan (x) - \tan^{2} (x))$

Этап 6.2.2.3.2.2

Добавим $- \tan (x)$ и $\tan (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (x))$

Этап 6.2.2.3.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0 (1 - \tan^{2} (x))$

Этап 6.2.2.3.3

Умножим $0$ на $1 - \tan^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) = 0$

Этап 6.2.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan^{2} (x) = - 1$

Этап 6.2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 6.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\tan (x) = \pm i$

Этап 6.2.3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (x) = i$

Этап 6.2.3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (x) = - i$

Этап 6.2.3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (x) = i, - i$

Этап 6.2.4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

Этап 6.2.5

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (i)$

Этап 6.2.5.2

Обратная к тангенсу $\arctan (i)$ не определена.

Неопределенные

Этап 6.2.6

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = - i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- i)$

Этап 6.2.6.2

Обратная к тангенсу $\arctan (- i)$ не определена.

Неопределенные

Этап 6.2.7

Перечислим все решения.

Нет решения

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\tan (x) (\frac{2}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))} - 1) = 0$ верно.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$