Основы мат. анализа Примеры

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{3}$

Этап 3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$

Этап 3.2

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 3.3

Чтобы записать $- \frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Этап 3.4.4

Умножим $4$ на $3$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12}$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12}$

Этап 3.6.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x = \frac{4 π - 3 π}{12}$

Этап 3.6.3

Вычтем $3 π$ из $4 π$ .

$x = \frac{π}{12}$

Этап 4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{3}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x + \frac{π}{4} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 5.1.3.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{2 π}{3} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $\frac{2 π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.2.3

Чтобы записать $- \frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.2.4.3

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Этап 5.2.4.4

Умножим $4$ на $3$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

Этап 5.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π \cdot 3}{12}$

Этап 5.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - π \cdot 3}{12}$

Этап 5.2.6.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{12}$

Этап 5.2.6.3

Вычтем $3 π$ из $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 6

Найдем период $\sin (x + \frac{π}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7

Период функции $\sin (x + \frac{π}{4})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{12} + 2 π n, \frac{5 π}{12} + 2 π n$ , для любого целого $n$