Основы мат. анализа Примеры

$\sec (x) \csc (x) = 2 \sec (x)$

Этап 1

Вычтем $2 \sec (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sec (x) \csc (x) - 2 \sec (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) \csc (x) - 2 \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- 2 \sec (x)$ .

$\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) \csc (x) + \sec (x) \cdot - 2$ .

$\sec (x) (\csc (x) - 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\csc (x) - 2 = 0$

Этап 4

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ .

$\sec (x) = 0$

Этап 4.2

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 5

Приравняем $\csc (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\csc (x) - 2$ к $0$ .

$\csc (x) - 2 = 0$

Этап 5.2

Решим $\csc (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\csc (x) = 2$

Этап 5.2.2

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (2)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Точное значение $arccsc (2)$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 5.2.4

Функция косеканса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.5

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 5.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 5.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 5.2.5.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 5.2.6

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.7

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sec (x) (\csc (x) - 2) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$