Основы мат. анализа Примеры

$\sin (\frac{1}{2} x) = 0$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{1}{2} x = \arcsin (0)$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Этап 6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Этап 6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (π - 0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = 2 π$

Этап 7

Найдем период $\sin (\frac{1}{2} x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 7.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 7.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 8

Период функции $\sin (\frac{1}{2} x)$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = 2 π n$ , для любого целого $n$