Основы мат. анализа Примеры

\sin (9 x) = 1

$\sin (9 x) = 1$

Этап 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из синуса.

9 x = \arcsin (1)

$9 x = \arcsin (1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение

\arcsin (1)

$\arcsin (1)$ :

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$

Этап 3

Разделим каждый член

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$ на

9

$9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$ на

9

$9$ .

\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель

9

$9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

Этап 3.2.1.2

Разделим

x

$x$ на

1

$1$ .

x = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

x = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

x = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Этап 3.3.2

Умножим

\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ на

\frac{1}{9}

$\frac{1}{9}$ .

x = \frac{π}{2 \cdot 9}

$x = \frac{π}{2 \cdot 9}$

Этап 3.3.2.2

Умножим

2

$2$ на

9

$9$ .

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

Этап 4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из

π

$π$ и найдем решение во втором квадранте.

9 x = π - \frac{π}{2}

$9 x = π - \frac{π}{2}$

Этап 5

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать

π

$π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

9 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$9 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.1.2

Объединим

π

$π$ и

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

9 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

9 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$9 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.1.4

Вычтем

π

$π$ из

π \cdot 2

$π \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Изменим порядок

π

$π$ и

2

$2$ .

9 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}

$9 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 5.1.4.2

Вычтем

π

$π$ из

2 \cdot π

$2 \cdot π$ .

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2

Разделим каждый член

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$ на

9

$9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член

9 x = \frac{π}{2}

$9 x = \frac{π}{2}$ на

9

$9$ .

\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель

9

$9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим

x

$x$ на

1

$1$ .

x = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

x = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

x = \frac{\frac{π}{2}}{9}

$x = \frac{\frac{π}{2}}{9}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Этап 5.2.3.2

Умножим

\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Умножим

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ на

\frac{1}{9}

$\frac{1}{9}$ .

x = \frac{π}{2 \cdot 9}

$x = \frac{π}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2.3.2.2

Умножим

2

$2$ на

9

$9$ .

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

x = \frac{π}{18}

$x = \frac{π}{18}$

Этап 6

Найдем период

\sin (9 x)

$\sin (9 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим

b

$b$ на

9

$9$ в формуле периода.

\frac{2 π}{| 9 |}

$\frac{2 π}{| 9 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

9

$9$ равно

9

$9$ .

\frac{2 π}{9}

$\frac{2 π}{9}$

\frac{2 π}{9}

$\frac{2 π}{9}$

Этап 7

Период функции

\sin (9 x)

$\sin (9 x)$ равен

\frac{2 π}{9}

$\frac{2 π}{9}$ . Поэтому значения повторяются через каждые

\frac{2 π}{9}

$\frac{2 π}{9}$ рад. в обоих направлениях.

x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{9}

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{9}$ , для любого целого

n

$n$