Основы мат. анализа Примеры

$y^{4} - 4 y^{2} = - 3$

Этап 1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y^{4} - 4 y^{2} + 3 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $y^{4}$ в виде ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} - 4 y^{2} + 3 = 0$

Этап 2.2

Пусть $u = y^{2}$ . Подставим $u$ вместо $y^{2}$ для всех.

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Этап 2.3

Разложим $u^{2} - 4 u + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Этап 2.4

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$(y^{2} - 3) (y^{2} - 1) = 0$

Этап 2.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(y^{2} - 3) (y^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 2.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$(y^{2} - 3) ((y + 1) (y - 1)) = 0$

Этап 2.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(y^{2} - 3) (y + 1) (y - 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y^{2} - 3 = 0$

$y + 1 = 0$

$y - 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $y^{2} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $y^{2} - 3$ к $0$ .

$y^{2} - 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $y^{2} - 3 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} = 3$

Этап 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{3}$

Этап 4.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{3}$

Этап 4.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{3}$

Этап 4.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 5

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 6

Приравняем $y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $y - 1$ к $0$ .

$y - 1 = 0$

Этап 6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 1$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y^{2} - 3) (y + 1) (y - 1) = 0$ верно.

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - 1, 1$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - 1, 1$

Десятичная форма:

$y = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, - 1, 1$