Основы мат. анализа Примеры

$\log_{y} (81) = - 4$

Этап 1

Перепишем $\log_{y} (81) = - 4$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$y^{- 4} = 81$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} = 81$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{4}, 1$

Этап 2.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{4}$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{1}{y^{4}} = 81$ умножим на $y^{4}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y^{4}} = 81$ на $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = 81 y^{4}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = 81 y^{4}$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = 81 y^{4}$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем уравнение в виде $81 y^{4} = 1$ .

$81 y^{4} = 1$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $81 y^{4} = 1$ на $81$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $81 y^{4} = 1$ на $81$ .

$\frac{81 y^{4}}{81} = \frac{1}{81}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{81 y^{4}}{81} = \frac{1}{81}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Разделим $y^{4}$ на $1$ .

$y^{4} = \frac{1}{81}$

Этап 2.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}}$

Этап 2.4.4

Упростим $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$

Этап 2.4.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{81}}$

Этап 2.4.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.3.1

Перепишем $81$ в виде $3^{4}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3^{4}}}$

Этап 2.4.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm \frac{1}{3}$

Этап 2.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{1}{3}$

Этап 2.4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{1}{3}$

Этап 2.4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Этап 3

Исключим решения, которые не делают $\log_{y} (81) = - 4$ истинным.

$y = \frac{1}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$y = 0.\overline{3}$