Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (x) + \log_{5} (y) = \log_{5} (3) + 1$

Этап 1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (x y) = \log_{5} (3) + 1$

Этап 2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{5} (x y) - \log_{5} (3) = 1$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x y}{3}) = 1$

Этап 4

Перепишем $\log_{5} (\frac{x y}{3}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{x y}{3}$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x y}{3} = 5^{1}$ .

$\frac{x y}{3} = 5$

Этап 5.2

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{x y}{3} = 3 \cdot 5^{1}$

Этап 5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x y}{3} = 3 \cdot 5^{1}$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x y = 3 \cdot 5^{1}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $3 \cdot 5^{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Найдем экспоненту.

$x y = 3 \cdot 5$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $3$ на $5$ .

$x y = 15$

Этап 5.4

Разделим каждый член $x y = 15$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $x y = 15$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{15}{x}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{15}{x}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{15}{x}$