Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (y) = \frac{1}{4} \cdot \log_{3} (16) + \frac{1}{3} \cdot \log_{3} (64)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\log_{3} (16)$ .

$\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{1}{3} \log_{3} (64)$

Этап 1.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\log_{3} (64)$ .

$\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$

Этап 2

Каждый член в $\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$ умножим на $12$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$ на $12$ .

$\log_{3} (y) \cdot 12 = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot 12 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $12$ влево от $\log_{3} (y)$ .

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot 12 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot (4 (3)) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Этап 2.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot (4 \cdot 3) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Этап 2.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$12 \log_{3} (y) = \log_{3} (16) \cdot 3 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Этап 2.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $\log_{3} (16)$ .

$12 \log_{3} (y) = 3 \cdot \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Этап 2.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot (3 (4))$

Этап 2.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot (3 \cdot 4)$

Этап 2.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \log_{3} (64) \cdot 4$

Этап 2.3.1.4

Перенесем $4$ влево от $\log_{3} (64)$ .

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $12 \log_{3} (y)$ путем переноса $12$ под логарифм.

$\log_{3} (y^{12}) = 3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Упростим $3 \log_{3} (16)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (16^{3}) + 4 \log_{3} (64)$

Этап 4.1.1.2

Возведем $16$ в степень $3$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + 4 \log_{3} (64)$

Этап 4.1.1.3

Упростим $4 \log_{3} (64)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + \log_{3} (64^{4})$

Этап 4.1.1.4

Возведем $64$ в степень $4$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + \log_{3} (16777216)$

Этап 4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096 \cdot 16777216)$

Этап 4.1.3

Умножим $4096$ на $16777216$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (68719476736)$

Этап 5

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$y^{12} = 68719476736$

Этап 6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[12]{68719476736}$

Этап 6.2

Упростим $\pm \sqrt[12]{68719476736}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $68719476736$ в виде $8^{12}$ .

$y = \pm \sqrt[12]{8^{12}}$

Этап 6.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 8$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 8$

Этап 6.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 8$

Этап 6.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 8, - 8$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\log_{3} (y) = \frac{1}{4} \cdot \log_{3} (16) + \frac{1}{3} \cdot \log_{3} (64)$ истинным.

$y = 8$