Основы мат. анализа Примеры

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{16 y + 4}{y^{2} - 16}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4$ из $16 y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $16 y$ .

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y) + 4}{y^{2} - 16}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y) + 4 (1)}{y^{2} - 16}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (4 y) + 4 (1)$ .

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{y^{2} - 16}$

Этап 1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{y^{2} - 4^{2}}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 4$ .

$\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 4, y, (y + 4) (y - 4)$

Этап 2.2

Since $y - 4, y, (y + 4) (y - 4)$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Этапы поиска НОК для $y - 4, y, (y + 4) (y - 4)$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $y^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $y - 4, y + 4, y - 4$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 2.8

Множителем $y - 4$ является само значение $y - 4$ .

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

Множителем $y + 4$ является само значение $y + 4$ .

$(y + 4) = y + 4$

$(y + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

Множителем $y - 4$ является само значение $y - 4$ .

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.11

НОК $y - 4, y + 4, y - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y - 4) (y + 4)$

Этап 2.12

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$y (y - 4) (y + 4)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)}$ умножим на $y (y - 4) (y + 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{16}{y - 4} - \frac{4}{y} = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)}$ на $y (y - 4) (y + 4)$ .

$\frac{16}{y - 4} (y (y - 4) (y + 4)) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $y - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $y - 4$ из $y (y - 4) (y + 4)$ .

$\frac{16}{y - 4} ((y - 4) (y (y + 4))) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{y - 4} ((y - 4) (y (y + 4))) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$16 (y (y + 4)) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 (y \cdot y + y \cdot 4) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $y$ на $y$ .

$16 (y^{2} + y \cdot 4) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$16 (y^{2} + 4 \cdot y) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$16 y^{2} + 16 (4 y) - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $4$ на $16$ .

$16 y^{2} + 64 y - \frac{4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.7

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{y}$ в числитель.

$16 y^{2} + 64 y + \frac{- 4}{y} (y (y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.7.2

Вынесем множитель $y$ из $y (y - 4) (y + 4)$ .

$16 y^{2} + 64 y + \frac{- 4}{y} (y ((y - 4) (y + 4))) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$16 y^{2} + 64 y + \frac{- 4}{y} (y ((y - 4) (y + 4))) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$16 y^{2} + 64 y - 4 ((y - 4) (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.8

Развернем $(y - 4) (y + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y (y + 4) - 4 (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y + y \cdot 4 - 4 (y + 4)) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y + y \cdot 4 - 4 y - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.9

Объединим противоположные члены в $y \cdot y + y \cdot 4 - 4 y - 4 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1

Изменим порядок множителей в членах $y \cdot 4$ и $- 4 y$ .

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y + 4 y - 4 y - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.9.2

Вычтем $4 y$ из $4 y$ .

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y + 0 - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.9.3

Добавим $y \cdot y$ и $0$ .

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y \cdot y - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.10.1

Умножим $y$ на $y$ .

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y^{2} - 4 \cdot 4) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.10.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$16 y^{2} + 64 y - 4 (y^{2} - 16) = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$16 y^{2} + 64 y - 4 y^{2} - 4 \cdot - 16 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.12

Умножим $- 4$ на $- 16$ .

$16 y^{2} + 64 y - 4 y^{2} + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.2

Вычтем $4 y^{2}$ из $16 y^{2}$ .

$12 y^{2} + 64 y + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y + 4) (y - 4)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(y - 4) (y + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(y - 4) (y + 4)$ из $(y + 4) (y - 4)$ .

$12 y^{2} + 64 y + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y - 4) (y + 4) (1)} (y (y - 4) (y + 4))$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $(y - 4) (y + 4)$ из $y (y - 4) (y + 4)$ .

$12 y^{2} + 64 y + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y - 4) (y + 4) (1)} ((y - 4) (y + 4) (y))$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = \frac{4 (4 y + 1)}{(y - 4) (y + 4) \cdot 1} ((y - 4) (y + 4) y)$

Этап 3.3.1.4

Перепишем это выражение.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = 4 (4 y + 1) y$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = (4 (4 y) + 4 \cdot 1) y$

Этап 3.3.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $4$ на $4$ .

$12 y^{2} + 64 y + 64 = (16 y + 4 \cdot 1) y$

Этап 3.3.3.2

Умножим $4$ на $1$ .

$12 y^{2} + 64 y + 64 = (16 y + 4) y$

Этап 3.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$12 y^{2} + 64 y + 64 = 16 y \cdot y + 4 y$

Этап 3.3.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Перенесем $y$ .

$12 y^{2} + 64 y + 64 = 16 (y \cdot y) + 4 y$

Этап 3.3.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$12 y^{2} + 64 y + 64 = 16 y^{2} + 4 y$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $16 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$12 y^{2} + 64 y + 64 - 16 y^{2} = 4 y$

Этап 4.1.2

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$12 y^{2} + 64 y + 64 - 16 y^{2} - 4 y = 0$

Этап 4.1.3

Вычтем $16 y^{2}$ из $12 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} + 64 y + 64 - 4 y = 0$

Этап 4.1.4

Вычтем $4 y$ из $64 y$ .

$- 4 y^{2} + 60 y + 64 = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 y^{2} + 60 y + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} + 60 y + 64 = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $60 y$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- 15 y) + 64 = 0$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $64$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- 15 y) - 4 \cdot - 16 = 0$

Этап 4.2.1.4

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (y^{2}) - 4 (- 15 y)$ .

$- 4 (y^{2} - 15 y) - 4 \cdot - 16 = 0$

Этап 4.2.1.5

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (y^{2} - 15 y) - 4 (- 16)$ .

$- 4 (y^{2} - 15 y - 16) = 0$

Этап 4.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разложим $y^{2} - 15 y - 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 16$ , а сумма — $- 15$ .

$- 16, 1$

Этап 4.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 4 ((y - 16) (y + 1)) = 0$

Этап 4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 (y - 16) (y + 1) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 16 = 0$

$y + 1 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $y - 16$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $y - 16$ к $0$ .

$y - 16 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$y = 16$

Этап 4.5

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 (y - 16) (y + 1) = 0$ верно.

$y = 16, - 1$