Основы мат. анализа Примеры

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$

Этап 2

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{x} + e^{- x} = y \cdot 2$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$e^{x} + e^{- x} = 2 y$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

Этап 4.2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 2 y$

Этап 4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 2 y$

Этап 4.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 4.4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 4.4.2

Каждый член в $u + \frac{1}{u} = 2 y$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим каждый член $u + \frac{1}{u} = 2 y$ на $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Этап 4.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Этап 4.4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Этап 4.4.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} + 1 = 2 y u$

Этап 4.4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Вычтем $2 y u$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 1 - 2 y u = 0$

Этап 4.4.3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4.3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2 y$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.4.1.1

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot 1$ в виде ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = - 2 y$ и $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.4.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.4.1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.3.2

Умножим $1$ на $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.3.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.4.1.3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.3.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.3.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.4.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) + 2 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- y) + 2 (- 1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) \cdot (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.6

Перепишем $4 (- y + 1) (- y - 1)$ в виде $2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.4.1.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.6.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.6.3

Добавим круглые скобки.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.1.8

Единица в любой степени равна единице.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$

Этап 4.4.3.4.3

Упростим $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$ .

$u = y \pm \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Этап 4.4.3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Этап 4.5

Подставим $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Этап 4.6

Решим $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ .

$e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Этап 4.6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Этап 4.6.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Этап 4.6.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Этап 4.6.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Этап 4.7

Подставим $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Этап 4.8

Решим $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ .

$e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Этап 4.8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Этап 4.8.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Этап 4.8.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Этап 4.8.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Этап 4.9

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$