Основы мат. анализа Примеры

${(y^{2} + 4 y)}^{2} + 7 (y^{2} + 4 y) + 12 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = y^{2} + 4 y$ . Подставим $u$ вместо $y^{2} + 4 y$ для всех.

$u^{2} + 7 u + 12 = 0$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} + 7 u + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $7$ .

$3, 4$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u + 3) (u + 4) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2} + 4 y$ .

$(y^{2} + 4 y + 3) (y^{2} + 4 y + 4) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y^{2} + 4 y + 3 = 0$

$y^{2} + 4 y + 4 = 0$

Этап 3

Приравняем $y^{2} + 4 y + 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $y^{2} + 4 y + 3$ к $0$ .

$y^{2} + 4 y + 3 = 0$

Этап 3.2

Решим $y^{2} + 4 y + 3 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим $y^{2} + 4 y + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $4$ .

$1, 3$

Этап 3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y + 1) (y + 3) = 0$

Этап 3.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y + 1 = 0$

$y + 3 = 0$

Этап 3.2.3

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Этап 3.2.4

Приравняем $y + 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Приравняем $y + 3$ к $0$ .

$y + 3 = 0$

Этап 3.2.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = - 3$

Этап 3.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y + 1) (y + 3) = 0$ верно.

$y = - 1, - 3$

Этап 4

Приравняем $y^{2} + 4 y + 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $y^{2} + 4 y + 4$ к $0$ .

$y^{2} + 4 y + 4 = 0$

Этап 4.2

Решим $y^{2} + 4 y + 4 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y^{2} + 4 y + 2^{2} = 0$

Этап 4.2.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 y = 2 \cdot y \cdot 2$

Этап 4.2.1.3

Перепишем многочлен.

$y^{2} + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 4.2.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = y$ и $b = 2$ .

${(y + 2)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Приравняем $y + 2$ к $0$ .

$y + 2 = 0$

Этап 4.2.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = - 2$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y^{2} + 4 y + 3) (y^{2} + 4 y + 4) = 0$ верно.

$y = - 1, - 3, - 2$