Основы мат. анализа Примеры

$y = \frac{1}{4} \cdot \csc (x + \frac{π}{4})$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\csc (x + \frac{π}{4})$ .

$y = \frac{\csc (x + \frac{π}{4})}{4}$

Этап 2

Вертикальные асимптоты функции $y = \csc (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, 2 π)$ для $y = c s c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \frac{\csc (x + \frac{π}{4})}{4}$ . Положив аргумент косеканса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \csc (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \frac{\csc (x + \frac{π}{4})}{4}$ .

$x + \frac{π}{4} = 0$

Этап 3

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 4

Выражение внутри косеканса $x + \frac{π}{4}$ приравняем $2 π$ .

$x + \frac{π}{4} = 2 π$

Этап 5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $\frac{π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Этап 5.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.3

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Этап 5.5.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 6

Основной период $y = \frac{\csc (x + \frac{π}{4})}{4}$ находится на промежутке $(- \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4})$ , где $- \frac{π}{4}$ и $\frac{7 π}{4}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4})$

Этап 7

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.2

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8

Вертикальные асимптоты $y = \frac{\csc (x + \frac{π}{4})}{4}$ находятся в $- \frac{π}{4}$ , $\frac{7 π}{4}$ и в каждой точке $x = - \frac{π}{4} + π n$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = - \frac{π}{4} + π n$

Этап 9

У косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{π}{4} + π n$ , где $n$ — целое число

Этап 10