Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} + 6 x^{2} - 27$

Этап 1

Приравняем $x^{4} + 6 x^{2} - 27$ к $0$ .

$x^{4} + 6 x^{2} - 27 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} + 6 u - 27 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.2

Разложим $u^{2} + 6 u - 27$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 27$ , а сумма — $6$ .

$- 3, 9$

Этап 2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u + 9) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 9 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 2.5

Приравняем $u + 9$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $u + 9$ к $0$ .

$u + 9 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$u = - 9$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 3) (u + 9) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$u = 3$ (кратно $1$ )

$u = - 9$ (кратно $1$ )

Этап 2.7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 3$

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Этап 2.8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 3$

Этап 2.9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 2.9.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 2.9.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 2.9.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 2.9.3

Кратность корня означает, сколько раз корень встречается. Например, у множителя ${(x + 5)}^{3}$ был бы корень $x = - 5$ кратности $3$ .

$x = \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

Этап 2.10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Этап 2.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 9$

Этап 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 2.11.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 2.11.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 2.11.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 2.11.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 2.11.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 2.11.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 2.11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 2.11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 2.11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 2.11.5

$x = 3 i$ (кратно $1$ )

$x = - 3 i$ (кратно $1$ )

$x = 3 i$ (кратно $1$ )

$x = - 3 i$ (кратно $1$ )

Этап 2.12

Решением $x^{4} + 6 x^{2} - 27 = 0$ является $x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 3 i, - 3 i$ .

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 3 i, - 3 i$

Этап 3