Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} + 343$

Этап 1

Приравняем $x^{3} + 343$ к $0$ .

$x^{3} + 343 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $343$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} = - 343$

Этап 2.2

Добавим $343$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} + 343 = 0$

Этап 2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $343$ в виде $7^{3}$ .

$x^{3} + 7^{3} = 0$

Этап 2.3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$(x + 7) (x^{2} - x \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$(x + 7) (x^{2} - 7 x + 7^{2}) = 0$

Этап 2.3.3.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$(x + 7) (x^{2} - 7 x + 49) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 7 = 0$

$x^{2} - 7 x + 49 = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 2.6

Приравняем $x^{2} - 7 x + 49$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x^{2} - 7 x + 49$ к $0$ .

$x^{2} - 7 x + 49 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $x^{2} - 7 x + 49 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 7$ и $c = 49$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.3

Вычтем $196$ из $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.4

Перепишем $- 147$ в виде $- 1 (147)$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (147)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.7

Перепишем $147$ в виде $7^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $49$ из $147$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.7.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.9

Перенесем $7$ влево от $i$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.3

Вычтем $196$ из $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.4

Перепишем $- 147$ в виде $- 1 (147)$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (147)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.7

Перепишем $147$ в виде $7^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $49$ из $147$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.7.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.9

Перенесем $7$ влево от $i$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.3

Вычтем $196$ из $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.4

Перепишем $- 147$ в виде $- 1 (147)$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (147)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.7

Перепишем $147$ в виде $7^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $49$ из $147$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.7.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.9

Перенесем $7$ влево от $i$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 7) (x^{2} - 7 x + 49) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = - 7$ (кратно $1$ )

$x = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$ (кратно $1$ )

$x = \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$ (кратно $1$ )

$x = - 7$ (кратно $1$ )

$x = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}$ (кратно $1$ )

$x = \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$ (кратно $1$ )

Этап 3