Основы мат. анализа Примеры

$9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1$

Этап 1

Приравняем $9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1$ к $0$ .

$9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 3 x - 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$- (3 x) - 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 2.1.2.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- (3 x) - 1 \cdot 1 + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (1)$ .

$- (3 x + 1) + 9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{5} - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{5}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) - 21 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 2.1.3.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 21 x^{4}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + 10 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $10 x^{3}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + 6 x^{2} = 0$

Этап 2.1.3.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Этап 2.1.3.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (9 x^{3}) + x^{2} (- 21 x^{2})$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2}) + x^{2} (10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Этап 2.1.3.6

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2}) + x^{2} (10 x)$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Этап 2.1.3.7

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$- (3 x + 1) + x^{2} (9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6) = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Разложим $9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

Этап 2.1.4.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 0.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{2}, \pm 3$

Этап 2.1.4.1.3

Подставим $- 0.\overline{3}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.\overline{3}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.3.1

Подставим $- 0.\overline{3}$ в многочлен.

$9 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 2.1.4.1.3.2

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $3$ .

$9 \cdot - 0.\overline{037} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 2.1.4.1.3.3

Умножим $9$ на $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{3} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 2.1.4.1.3.4

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$- 0.\overline{3} - 21 \cdot 0.\overline{1} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 2.1.4.1.3.5

Умножим $- 21$ на $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{3} - 2.\overline{3} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 2.1.4.1.3.6

Вычтем $2.\overline{3}$ из $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.\overline{6} + 10 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

Этап 2.1.4.1.3.7

Умножим $10$ на $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.\overline{6} - 3.\overline{3} + 6$

Этап 2.1.4.1.3.8

Вычтем $3.\overline{3}$ из $- 2.\overline{6}$ .

$- 6 + 6$

Этап 2.1.4.1.3.9

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0$

Этап 2.1.4.1.4

Поскольку $- 0.\overline{3}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6}{3 x + 1}$

Этап 2.1.4.1.5

Разделим $9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ на $3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$21 x^{2}$

$10 x$

$6$

Этап 2.1.4.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $9 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$3 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$

Этап 2.1.4.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			+	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 2.1.4.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $9 x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 2.1.4.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

Этап 2.1.4.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$

Этап 2.1.4.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 24 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$

Этап 2.1.4.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 2.1.4.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 24 x^{2} - 8 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 2.1.4.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$

Этап 2.1.4.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$

Этап 2.1.4.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $18 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$

Этап 2.1.4.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	+	$6$

Этап 2.1.4.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $18 x + 6$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	-	$6$

Этап 2.1.4.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$6$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$10 x$	+	$6$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	-	$6$
										$0$

Этап 2.1.4.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$3 x^{2} - 8 x + 6$

Этап 2.1.4.1.6

Запишем $9 x^{3} - 21 x^{2} + 10 x + 6$ в виде набора множителей.

$- (3 x + 1) + x^{2} ((3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 x + 1) + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6) = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $3 x + 1$ из $- (3 x + 1) + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Вынесем множитель $3 x + 1$ из $- (3 x + 1)$ .

$(3 x + 1) \cdot - 1 + x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6) = 0$

Этап 2.1.5.2

Вынесем множитель $3 x + 1$ из $x^{2} (3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 6)$ .

$(3 x + 1) \cdot - 1 + (3 x + 1) (x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

Этап 2.1.5.3

Вынесем множитель $3 x + 1$ из $(3 x + 1) \cdot - 1 + (3 x + 1) (x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6))$ .

$(3 x + 1) (- 1 + x^{2} (3 x^{2} - 8 x + 6)) = 0$

Этап 2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x + 1) (- 1 + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 6) = 0$

Этап 2.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 6) = 0$

Этап 2.1.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} x + x^{2} \cdot 6) = 0$

Этап 2.1.7.3

Перенесем $6$ влево от $x^{2}$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Этап 2.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 (x^{2} x^{2}) - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Этап 2.1.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{2 + 2} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Этап 2.1.8.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{2} x + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Этап 2.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Этап 2.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Этап 2.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{1 + 2} + 6 \cdot x^{2}) = 0$

Этап 2.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 \cdot x^{2}) = 0$

$(3 x + 1) (- 1 + 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2}) = 0$

Этап 2.1.9

Изменим порядок членов.

$(3 x + 1) (3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Перепишем $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1

Разложим $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 2.1.10.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}$

Этап 2.1.10.1.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1.3.1

Подставим $- 0.\overline{3}$ в многочлен.

$3 {(- 0.\overline{3})}^{4} - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Этап 2.1.10.1.1.3.2

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $4$ .

$3 \cdot 0.01234567 - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Этап 2.1.10.1.1.3.3

Умножим $3$ на $0.01234567$ .

$0.\overline{037} - 8 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Этап 2.1.10.1.1.3.4

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $3$ .

$0.\overline{037} - 8 \cdot - 0.\overline{037} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Этап 2.1.10.1.1.3.5

Умножим $- 8$ на $- 0.\overline{037}$ .

$0.\overline{037} + 0.\overline{296} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Этап 2.1.10.1.1.3.6

Добавим $0.\overline{037}$ и $0.\overline{296}$ .

$0.\overline{3} + 6 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 1$

Этап 2.1.10.1.1.3.7

Возведем $- 0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$0.\overline{3} + 6 \cdot 0.\overline{1} - 1$

Этап 2.1.10.1.1.3.8

Умножим $6$ на $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{3} + 0.\overline{6} - 1$

Этап 2.1.10.1.1.3.9

Добавим $0.\overline{3}$ и $0.\overline{6}$ .

$1 - 1$

Этап 2.1.10.1.1.3.10

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 2.1.10.1.1.4

$\frac{3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1}{3 x + 1}$

Этап 2.1.10.1.1.5

Разделим $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ на $3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1.5.1

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 2.1.10.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 2.1.10.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Этап 2.1.10.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{4} + x^{3}$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Этап 2.1.10.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

Этап 2.1.10.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

Этап 2.1.10.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 9 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

Этап 2.1.10.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 2.1.10.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 9 x^{3} - 3 x^{2}$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

Этап 2.1.10.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

Этап 2.1.10.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

Этап 2.1.10.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $9 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

Этап 2.1.10.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

Этап 2.1.10.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $9 x^{2} + 3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

Этап 2.1.10.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

Этап 2.1.10.1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

Этап 2.1.10.1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

Этап 2.1.10.1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

Этап 2.1.10.1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x - 1$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

Этап 2.1.10.1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$8 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$6 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$9 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x$

$1$

$0$

Этап 2.1.10.1.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Этап 2.1.10.1.1.6

Запишем $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} - 1$ в виде набора множителей.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

Этап 2.1.10.1.2

Разложим $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.2.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.10.1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1$

Этап 2.1.10.1.2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 2.1.10.1.2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 2.1.10.1.2.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 2.1.10.1.2.3.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 2.1.10.1.2.3.5

Вычтем $3$ из $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 2.1.10.1.2.3.6

Умножим $3$ на $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Этап 2.1.10.1.2.3.7

Добавим $- 2$ и $3$ .

$1 - 1$

Этап 2.1.10.1.2.3.8

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 2.1.10.1.2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Этап 2.1.10.1.2.5

Разделим $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.2.5.1

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Этап 2.1.10.1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Этап 2.1.10.1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.1.10.1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.1.10.1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 2.1.10.1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 2.1.10.1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 2.1.10.1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 2.1.10.1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 2.1.10.1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Этап 2.1.10.1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Этап 2.1.10.1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Этап 2.1.10.1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Этап 2.1.10.1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 1$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Этап 2.1.10.1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Этап 2.1.10.1.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 2 x + 1$

Этап 2.1.10.1.2.6

Запишем $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ в виде набора множителей.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1))) = 0$

Этап 2.1.10.1.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2}))) = 0$

Этап 2.1.10.1.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.1.10.1.3.3

Перепишем многочлен.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}))) = 0$

Этап 2.1.10.1.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

Этап 2.1.10.1.4

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.4.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) ((x - 1) {(x - 1)}^{2})) = 0$

Этап 2.1.10.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(3 x + 1) ((3 x + 1) {(x - 1)}^{1 + 2}) = 0$

Этап 2.1.10.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(3 x + 1) ((3 x + 1) {(x - 1)}^{3}) = 0$

Этап 2.1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 2.1.11

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Возведем $3 x + 1$ в степень $1$ .

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 2.1.11.2

Возведем $3 x + 1$ в степень $1$ .

$(3 x + 1) (3 x + 1) {(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 2.1.11.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(3 x + 1)}^{1 + 1} {(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 2.1.11.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(3 x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(3 x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 2.3

Приравняем ${(3 x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем ${(3 x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(3 x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.3.2

Решим ${(3 x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Этап 2.3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Этап 2.3.2.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.3.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.3.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Этап 2.3.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 2.4

Приравняем ${(x - 1)}^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x - 1)}^{3}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x - 1)}^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(3 x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = - \frac{1}{3}$ (кратно $2$ )

$x = 1$ (кратно $3$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (кратно $2$ )

$x = 1$ (кратно $3$ )

Этап 3