Основы мат. анализа Примеры

$y = \sec (2 x + π)$

Этап 1

Вертикальные асимптоты функции $y = \sec (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ для $y = s e c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \sec (2 x + π)$ . Положив аргумент секанса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \sec (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \sec (2 x + π)$ .

$2 x + π = - \frac{π}{2}$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $π$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - \frac{π}{2} - π$

Этап 2.1.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.1.3

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Этап 2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{- π - π \cdot 2}{2}$

Этап 2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x = \frac{- π - 2 π}{2}$

Этап 2.1.5.2

Вычтем $2 π$ из $- π$ .

$2 x = \frac{- 3 π}{2}$

Этап 2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x = - \frac{3 π}{2}$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 x = - \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $- \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$x = - \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.2.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = - \frac{3 π}{4}$

Этап 3

Выражение внутри секанса $2 x + π$ приравняем $\frac{3 π}{2}$ .

$2 x + π = \frac{3 π}{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $π$ из обеих частей уравнения.

$2 x = \frac{3 π}{2} - π$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.1.3

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{3 π - π \cdot 2}{2}$

Этап 4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x = \frac{3 π - 2 π}{2}$

Этап 4.1.5.2

Вычтем $2 π$ из $3 π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Этап 4.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 5

Основной период $y = \sec (2 x + π)$ находится на промежутке $(- \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4})$ , где $- \frac{3 π}{4}$ и $\frac{π}{4}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4})$

Этап 6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 6.2.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7

Вертикальные асимптоты $y = \sec (2 x + π)$ находятся в $- \frac{3 π}{4}$ , $\frac{π}{4}$ и в каждой точке $x = - \frac{3 π}{4} + \frac{π n}{2}$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = - \frac{3 π}{4} + \frac{π n}{2}$

Этап 8

У секанса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{3 π}{4} + \frac{π n}{2}$ , где $n$ — целое число

Этап 9