Основы мат. анализа Примеры

$y = 3 \sec (2 π x)$

Этап 1

Вертикальные асимптоты функции $y = \sec (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ для $y = s e c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 3 \sec (2 π x)$ . Положив аргумент секанса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \sec (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 3 \sec (2 π x)$ .

$2 π x = - \frac{π}{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $2 π x = - \frac{π}{2}$ на $2 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 π x = - \frac{π}{2}$ на $2 π$ .

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{- \frac{π}{2}}{2 π}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{- \frac{π}{2}}{2 π}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{2 π}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{2 π}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2 π}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2 π}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$x = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{2 π}$

Этап 2.3.2.2

Вынесем множитель $π$ из $- π$ .

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{2 π}$

Этап 2.3.2.3

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 2}$

Этап 2.3.2.4

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 2}$

Этап 2.3.2.5

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.3.3

Умножим $\frac{- 1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 3

Выражение внутри секанса $2 π x$ приравняем $\frac{3 π}{2}$ .

$2 π x = \frac{3 π}{2}$

Этап 4

Разделим каждый член $2 π x = \frac{3 π}{2}$ на $2 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 π x = \frac{3 π}{2}$ на $2 π$ .

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2 π}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π x}{2 π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2 π}$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2 π}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2 π}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2 π}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2 π}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{2 π}$

Этап 4.3.2.2

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 2}$

Этап 4.3.2.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π \cdot 2}$

Этап 4.3.2.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 5

Основной период $y = 3 \sec (2 π x)$ находится на промежутке $(- \frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ , где $- \frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{1}{4}, \frac{3}{4})$

Этап 6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

$2 π$ приблизительно равно $6.2831853$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{2 π}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 π}$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{π}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π}{π}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 7

Вертикальные асимптоты $y = 3 \sec (2 π x)$ находятся в $- \frac{1}{4}$ , $\frac{3}{4}$ и в каждой точке $\frac{n}{2}$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = \frac{3}{4} + \frac{n}{2}$

Этап 8

У секанса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3}{4} + \frac{n}{2}$ , где $n$ — целое число

Этап 9